🔹 অনুক্রম (Sequence)

কোনো নির্দিষ্ট নিয়মে সাজানো সংখ্যাগুলোর ক্রমকে অনুক্রম বলে।
👉 যেমন: 2, 4, 6, 8, 10, …

🔹 ধারা (Series)

কোনো অনুক্রমের সংখ্যাগুলোকে যোগ করলে তাকে ধারা বলে।
👉 যেমন: 2 + 4 + 6 + 8 + …

---

📘 সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression – A.P.)

যে অনুক্রমে পরপর দুইটি পদের পার্থক্য সমান হয় তাকে সমান্তর অনুক্রম বা A.P. বলে।

👉 উদাহরণ: 2, 5, 8, 11, 14, …
এখানে সাধারণ পার্থক্য (Common difference) d = 3

---

🔹 সমান্তর ধারার গুরুত্বপূর্ণ সূত্র

1. n তম পদ (nth term):

an=a+(n−1)da_n = a + (n – 1)dan​=a+(n−1)d

যেখানে,

• $a$ = প্রথম পদ (First term)

• $d$ = সাধারণ পার্থক্য (Common difference)

• $n$ = পদ সংখ্যা

---

2. প্রথম n পদের যোগফল (Sum of n terms):

Sn=n2[2a+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2}[2a + (n – 1)d]Sn​=2n​[2a+(n−1)d]

অথবা,

Sn=n2(a+l)S_n = \frac{n}{2}(a + l)Sn​=2n​(a+l)

যেখানে,

• $l$ = n তম পদ = শেষ পদ

---

3. শেষ পদ নির্ণয়ের সূত্র:

$$l=a+(n-1)d$$

---

🔹 উদাহরণ

1. প্রশ্ন: একটি A.P. হলো 3, 7, 11, 15, … এর 10ম পদ কত?

• a = 3, d = 4, n = 10

• a10=a+(n−1)d=3+(10−1)×4=39a_{10} = a + (n-1)d = 3 + (10-1)×4 = 39a10​=a+(n−1)d=3+(10−1)×4=39 ✅

2. প্রশ্ন: প্রথম 20 পদ যোগফল নির্ণয় করো যদি a = 5, d = 3।

• S20=202[2×5+(20−1)×3]S_{20} = \frac{20}{2}[2×5 + (20−1)×3]S20​=220​[2×5+(20−1)×3]

• S20=10[10+57]=10×67=670S_{20} = 10[10 + 57] = 10×67 = 670S20​=10[10+57]=10×67=670 ✅

---

👉 এগুলো হলো সমান্তর ধারার মূল সূত্র।